(x+1)^2=-2(x-1)^2 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

{(x + 1)}^{2} = -2 \cdot {(x - 1)}^{2}

{(x + 1)}^{2} + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

{(x - 1)}^{2}

(x - 1) \cdot (x - 1)

(x + 1) \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(x + 1) \cdot (x + 1)

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

2 \cdot (x - 1)

2 x - 2

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

+ (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 1

1

x^{2}

+ x

+ x

+ 1

+ (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

x^{2}

+ 2 x

+ 1

+ (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(2 x - 2) \cdot (x - 1)

2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1)

x^{2}

+ 2 x

+ 1

+ 2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1) = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x - 2 x

0

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-2 \cdot (-1)

2

x^{2}

+ 0

+ 1

+ 2 x^{2}

- 2 x

+ 2 = 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

■Partimos de

1

y avanzamos

2

en la recta numérica:

1 + 2

3

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x^{2} + 2 x^{2}

3 x^{2}

3 x^{2} + 3 - 2 x = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = -2

c = 3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

Δ = 4 - 12 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

Δ = 4 - 36

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

36

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 36

-32

Δ = -32

Como

Δ < 0

, la ecuación no tiene raíces reales.

▶Solución:

x \in \emptyset