(x-1)/(x+3)>(x-4)/(x+2) — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

2) Sumemos las fracciones:

\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2} > 0

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{x - 4}{x + 2}

\frac{- x + 4}{x + 2}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{- x + 4}{x + 2}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)} > 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

resolviendo en

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3) > 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(x - 1) \cdot (x + 2)

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

(- x + 4) \cdot (x + 3)

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3

⇥

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3 > 0

⇥ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot x

x

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 2

2

4 \cdot 3

12

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

3 x - x^{2}

⇥

x^{2}

+ 3 x

- x

- 2

- x^{2}

+ 12 > 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

3 x - x

2 x

x^{2} - x^{2}

0

■Partimos de

-2

y avanzamos

12

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 2 + 12

10

⇥

0 + 2 x + 10 > 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 x

2 x

⇥

2 x + 10 > 0

⇥ⓘ Restamos

10

a ambos miembros

⇥

2 x > -10

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x > - \frac{10}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{10}{2}

-5

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x > -5

⇥Por tanto, la expresión

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

es positiva en

] -5; +∞ [

y negativa o nula en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

(x + 3) \cdot (x + 2) > 0

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x + 3

se anula en

x = -3

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

x + 2

se anula en

x = -2

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-5$		$-3$		$-2$		$+∞$
$(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)$		-	0	+		+		+
$x + 3$		-		-	0	+		+
$x + 2$		-		-		-	0	+
$\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2}$		-	0	+	❌	-	❌	+

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [

4) Determinemos el dominio de

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

Para que la expresión

\frac{x - 1}{x + 3}

esté definida, debe cumplirse:

x + 3 \neq 0

Para que la expresión

\frac{x - 4}{x + 2}

esté definida, debe cumplirse:

x + 2 \neq 0

5) Resolvamos en

ℝ

x + 3 \neq 0

ⓘ Restamos

3

a ambos miembros

Solución encontrada:

x \neq -3

6) Resolvamos en

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

Solución encontrada:

x \neq -2

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

x	$-∞$		$-3$		$-2$		$+∞$
$x + 3 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x + 2 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Dominio de definición:		✅	❌	✅	❌	✅

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-3; -2}

▶Solución:

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [