(x^2-x-2)/(x^2+4x+3)<= 0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥1.1) Estudiemos el signo de

x^{2} - x - 2

resolviendo en

ℝ

x^{2} - x - 2 \leq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \in [-1; 2]

⇥Por tanto, la expresión

x^{2} - x - 2

es negativa o nula en

[-1; 2]

y positiva en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥1.2) Estudiemos el signo de

x^{2} + 4 x + 3

resolviendo en

ℝ

x^{2} + 4 x + 3 < 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 4

c = 3

⇥

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

12

en la recta numérica:

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 4 - 2

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 4 + 2

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{2} = -1

⇥El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -3; -1 [

⇥Por tanto, la expresión

x^{2} + 4 x + 3

es negativa en

] -3; -1 [

y positiva o nula en los demás puntos

2) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-3$		$-1$		$2$		$+∞$
$x^{2} - x - 2$		+		+	0	-	0	+
$x^{2} + 4 x + 3$		+	0	-	0	+		+
$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$		+	❌	-	❌	-	0	+

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]

3) Busquemos el dominio de

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

Para que la expresión

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} + 4 x + 3 \neq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 4

c = 3

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

Δ = 16 - 12

ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

12

en la recta numérica:

16 - 12

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 4 - 2

-6

x_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

x_{1} = -3

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 4 + 2

-2

x_{2} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

x_{2} = -1

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-3; -1}

▶Solución:

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]