(xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) — solución paso a paso

⚠ (xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) se interpreta como (x)*y'=y+sqrt(x^2-y^2): utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente

1) Resolvamos la ecuación diferencial

x \cdot y' = y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}

, donde

y

es una función de

x

; en un intervalo donde

x > 0

, podemos despejar

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

En este intervalo, el segundo miembro solo depende de

\frac{y}{x}

: la ecuación es homogénea. Con

v = \frac{y}{x}

, se escribe

y' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

Hacemos

y = v x

, donde

v

es una función de

x

: entonces

y' = v + x \cdot v'

, y la ecuación pasa a ser

v + x \cdot v' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

, es decir,

x \cdot v' = \sqrt{1 - v^{2}}

El segundo miembro está definido para

v \in [-1; 1]

, por lo que esta condición sigue siendo necesaria para cada rama

Antes de dividir,

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

da las soluciones de equilibrio

v = {-1; 1}

, es decir,

(y = - x \lor y = x)

En los intervalos donde

\sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, separamos las variables:

\frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.1) Calculemos la integral:

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

⇥ⓘ La derivada de

\arcsin (v)

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, por lo que

\arcsin (v)

es una primitiva de

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

\arcsin (v)

⇥

\arcsin (v)

Al integrar ambos miembros, con

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puesto que

x \neq 0

\arcsin (v) = \ln | x | + C

, donde

C

es una constante real arbitraria, propia de cada intervalo

Despejamos

v

v = \sin (\ln | x | + C)

. Como

y = v x

, las ramas de soluciones son:

Estas ramas son válidas en los intervalos donde

x > 0

. En los puntos donde

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

, una unión con una solución de equilibrio debe conservar el valor y la derivada y satisfacer la ecuación inicial

En un intervalo donde

x < 0

, podemos despejar

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

En este intervalo, el segundo miembro solo depende de

\frac{y}{x}

: la ecuación es homogénea. Con

v = \frac{y}{x}

, se escribe

y' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

Hacemos

y = v x

, donde

v

es una función de

x

: entonces

y' = v + x \cdot v'

, y la ecuación pasa a ser

v + x \cdot v' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

, es decir,

x \cdot v' = - \sqrt{1 - v^{2}}

El segundo miembro está definido para

v \in [-1; 1]

, por lo que esta condición sigue siendo necesaria para cada rama

Antes de dividir,

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

da las soluciones de equilibrio

v = {-1; 1}

, es decir,

(y = - x \lor y = x)

En los intervalos donde

- \sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, separamos las variables:

- \frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

⇥ⓘ La derivada de

\arccos (v)

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, por lo que

\arccos (v)

es una primitiva de

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

\arccos (v)

⇥

\arccos (v)

Al integrar ambos miembros, con

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

puesto que

x \neq 0

\arccos (v) = \ln | x | + C

, donde

C

es una constante real arbitraria, propia de cada intervalo

Despejamos

v

v = \cos (\ln | x | + C)

. Como

y = v x

, las ramas de soluciones son:

Estas ramas son válidas en los intervalos donde

x < 0

. En los puntos donde

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

, una unión con una solución de equilibrio debe conservar el valor y la derivada y satisfacer la ecuación inicial

▶Solución:

((x > 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \sin (\ln | x | + C))) \lor (x < 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \cos (\ln | x | + C))))