asíntotas de (3x^2-18x+24)/(x^2-4x)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 4 x = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

x^{2} - 4 x

como

x \cdot (x - 4)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

x - 4 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 4

Cuando

x

se acerca a

0

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 0

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

4

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

\frac{3}{2}

; por la derecha (valores mayores), tiende a

\frac{3}{2}

Los límites son finitos en

4

: se trata de un hueco, no de una asíntota vertical

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(3 x^{2} - 18 x + 24)

entre

(x^{2} - 4 x)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$3 x^{2} - 18 x + 24$	$\frac{3 x^{2}}{x^{2}}$	$3$	$3 \cdot (x^{2} - 4 x) = 3 x^{2} - 12 x$	$(3 x^{2} - 18 x + 24) - (3 x^{2} - 12 x) = - 6 x + 24$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

3

El cociente de la división es la constante

3

: la recta que debemos comprobar es

y = 3

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tiende a

3

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tiende a

3

La asíntota horizontal es

y = 3

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = 0; y = 3}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+18*x+%2B+24%29%2F%28x%5E2+-+4*x%29&v=x&x2=0&f3=3&b=-10.0&e=10.0&min=-0.54&max=5.94&dash=2,3