asíntotas de (x+2)/(x^2-2x-3) — solución paso a paso

Busquemos las asíntotas de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

12

en la recta numérica:

4 + 12

16

Δ = 16

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

x_{1} = \frac{2 - 4}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 4

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

x_{2} = \frac{2 + 4}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 4

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Soluciones encontradas:

x = {-1; 3}

Cuando

x

se acerca a

-1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -1

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 3

es una asíntota vertical

En el infinito, el grado del numerador es menor que el del denominador: la recta que debemos comprobar es

y = 0

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tiende a

0

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tiende a

0

La asíntota horizontal es

y = 0

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -1; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=%28x+%2B+2%29%2F%28x%5E2+-+2*x+-+3%29&v=x&x2=-1&x3=3&f4=0&b=-9.0&e=11.0&min=-0.9890109890109889&max=0.5934065934065934&dash=2,3,4