asíntotas de (x-9)/(sqrt(4x^2+3x+2))

Busquemos las asíntotas de

\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}

, para

x

real

El denominador es una raíz cuadrada: el dominio viene dado por

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

Resolvamos en

ℝ

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 4

b = 3

c = 2

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

Δ = 9 - 16 \cdot 2

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Δ = 9 - 32

ⓘ Partimos de

9

y retrocedemos

32

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

9 - 32

-23

Δ = -23

El trinomio no tiene raíces reales: siempre tiene el signo de a (

4

), por lo que es positivo para todo

x

Solución encontrada:

x \in ℝ

El radicando es estrictamente positivo en ℝ: la función está definida y es continua en ℝ, sin asíntota vertical

En el infinito, los términos dominantes son

x

en el numerador y

\sqrt{4 x^{2}}

en el denominador. Atención:

\sqrt{x^{2}}

| x |

Cuando

x

tiende a

-∞

\frac{x}{| x |}

vale

-1

: la función tiende a

- \frac{1}{2}

-∞

, el límite es finito:

y = - \frac{1}{2}

es una asíntota horizontal

Cuando

x

tiende a

+∞

\frac{x}{| x |}

vale

1

: la función tiende a

\frac{1}{2}

+∞

, el límite es finito:

y = \frac{1}{2}

es una asíntota horizontal

Los límites en ambos infinitos son finitos: no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{y = - \frac{1}{2}; y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=%28x+-+9%29%2Fsqrt%284*x%5E2+%2B+3*x+%2B+2%29&v=x&f2=-1%2F2&f3=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=-4.4576322693961465&max=0.950693842672377&dash=2,3