asíntotas de (x^2-2x-35)/(x^2-16)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 16 = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

16

son

-4

4

⇥Soluciones encontradas:

x = {-4; 4}

Cuando

x

se acerca a

-4

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -4

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

4

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 4

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{2} - 2 x - 35)

entre

(x^{2} - 16)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{2} - 2 x - 35$	$\frac{x^{2}}{x^{2}}$	$1$	$x^{2} - 16 = x^{2} - 16$	$(x^{2} - 2 x - 35) - (x^{2} - 16) = - 2 x - 19$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

1

El cociente de la división es la constante

1

: la recta que debemos comprobar es

y = 1

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

tiende a

1

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

tiende a

1

La asíntota horizontal es

y = 1

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -4; x = 4; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+-+2*x+-+35%29%2F%28x%5E2+-+16%29&v=x&x2=-4&x3=4&f4=1&b=-12.0&e=12.0&min=-0.8907142857142858&max=3.197857142857143&dash=2,3,4