asíntotas de (x^3)/(x^2-9) — solución paso a paso

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

9

son

-3

3

⇥Soluciones obtenidas:

x = {-3; 3}

Cuando

x

se acerca a

-3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -3

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 3

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{3})

entre

(x^{2} - 9)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 9) = x^{3} - 9 x$	$x^{3} - (x^{3} - 9 x) = 9 x$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x

La división permite escribir

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}

: la recta que debemos comprobar es

y = x

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{9 x}{x^{2} - 9}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = x

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = -3; x = 3; y = x}

🖼/draw?f1=x%5E3%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.1375&max=12.0125&dash=2,3,4