asíntotas de (x^3-x^2-x+1)/(x^2-4)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 4 = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

4

son

-2

2

⇥Soluciones encontradas:

x = {-2; 2}

Cuando

x

se acerca a

-2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -2

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 2

es una asíntota vertical

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{3}

- x^{2}

- x

+ 1)

entre

(x^{2} - 4)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 x$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1) - (x^{3} - 4 x) = - x^{2} + 3 x + 1$
$- x^{2} + 3 x + 1$	$- \frac{x^{2}}{x^{2}}$	$-1$	$-1 \cdot (x^{2} - 4) = - x^{2} + 4$	$(- x^{2} + 3 x + 1) - (- x^{2} + 4) = 3 x - 3$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

(x - 1)

La división permite escribir

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4} = (x - 1) + \frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

: la recta que debemos comprobar es

y = x - 1

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = x - 1

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = -2; x = 2; y = x - 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E3+-+x%5E2+-+x+%2B+1%29%2F%28x%5E2+-+4%29&v=x&x2=-2&x3=2&f4=x+-+1&b=-10.0&e=10.0&min=-13.0&max=11.0&dash=2,3,4