asíntotas de (x^4-1)/x^3 — solución paso a paso

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{3} = 0

⇥De

x^{3} = 0

deducimos:

x = 0

⇥Solución encontrada:

x = 0

Cuando

x

se acerca a

0

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 0

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{4} - 1)

entre

(x^{3})

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{4} - 1$	$\frac{x^{4}}{x^{3}}$	$x$	$x x^{3} = x^{4}$	$(x^{4} - 1) - x^{4} = -1$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x

La división permite escribir

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}} = x - \frac{1}{x^{3}}

: la recta que debemos comprobar es

y = x

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

- \frac{1}{x^{3}}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = x

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = 0; y = x}

🖼/draw?f1=%28x%5E4+-+1%29%2Fx%5E3&v=x&x2=0&f3=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=12.0&dash=2,3