asíntotas de f(x)=1/(-2x^2+2x+12)

Busquemos las asíntotas de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

Resolvamos en

ℝ

- 2 x^{2} + 2 x + 12 = 0

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-2

x^{2} - x - 6 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

24

en la recta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

x_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

x_{2} = \frac{1 + 5}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Soluciones obtenidas:

x = {-2; 3}

Cuando

x

se acerca a

-2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -2

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 3

es una asíntota vertical

En el infinito, el grado del numerador es menor que el del denominador: la recta que debemos comprobar es

y = 0

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tiende a

0

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tiende a

0

La asíntota horizontal es

y = 0

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -2; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=1%2F%28-2*x%5E2+%2B+2*x+%2B+12%29&v=x&x2=-2&x3=3&f4=0&b=-9.5&e=10.5&min=-0.10119047619047619&max=0.11309523809523808&dash=2,3,4