asíntotas de f(x)=(2x^2-5x+7)/(x-2)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x - 2 = 0

⇥ⓘ Sumamos

2

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x = 2

Cuando

x

se acerca a

2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 2

es una asíntota vertical

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(2 x^{2} - 5 x + 7)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$2 x^{2} - 5 x + 7$	$\frac{2 x^{2}}{x}$	$2 x$	$2 x \cdot (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x$	$(2 x^{2} - 5 x + 7) - (2 x^{2} - 4 x) = - x + 7$
$- x + 7$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x - 2) = - x + 2$	$(- x + 7) - (- x + 2) = 5$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

(2 x - 1)

La división permite escribir

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2} = (2 x - 1) + \frac{5}{x - 2}

: la recta que debemos comprobar es

y = 2 x - 1

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{5}{x - 2}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = 2 x - 1

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = 2; y = 2 x - 1}

🖼/draw?f1=%282*x%5E2+-+5*x+%2B+7%29%2F%28x+-+2%29&v=x&x2=2&f3=2*x+-+1&b=-8.0&e=12.0&min=-21.0&max=27.0&dash=2,3