asíntotas de f(x)=(3x)/(x^2-8) — solución paso a paso

Busquemos las asíntotas de

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 8 = 0

Los dos números cuyo cuadrado vale

8

son

- 2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

Soluciones obtenidas:

x = {- 2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2}}

Cuando

x

se acerca a

- 2 \cdot \sqrt{2}

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = - 2 \cdot \sqrt{2}

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

2 \cdot \sqrt{2}

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 2 \cdot \sqrt{2}

es una asíntota vertical

En el infinito, el grado del numerador es menor que el del denominador: la recta que debemos comprobar es

y = 0

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

tiende a

0

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

tiende a

0

La asíntota horizontal es

y = 0

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = - 2 \cdot \sqrt{2}; x = 2 \cdot \sqrt{2}; y = 0}

🖼/draw?f1=%283*x%29%2F%28x%5E2+-+8%29&v=x&x2=-2*sqrt%282%29&x3=2*sqrt%282%29&f4=0&b=-10.0&e=10.0&min=-1.8&max=1.8&dash=2,3,4