asíntotas de f(x)=(4x)/(x^2+3x-10)

Busquemos las asíntotas de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 3 x - 10 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 3

c = -10

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

40

en la recta numérica:

9 + 40

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 - 7

-10

x_{1} = - \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{10}{2}

-5

x_{1} = -5

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 + 7

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

Soluciones encontradas:

x = {-5; 2}

Cuando

x

se acerca a

-5

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -5

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 2

es una asíntota vertical

En el infinito, el grado del numerador es menor que el del denominador: la recta que debemos comprobar es

y = 0

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tiende a

0

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tiende a

0

La asíntota horizontal es

y = 0

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -5; x = 2; y = 0}

🖼/draw?f1=%284*x%29%2F%28x%5E2+%2B+3*x+-+10%29&v=x&x2=-5&x3=2&f4=0&b=-12.0&e=9.0&min=-2.123265306122449&max=2.1967346938775503&dash=2,3,4