asíntotas de f(x)=(5x)/(2x+3) — solución paso a paso

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{5 x}{2 x + 3}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

2 x + 3 = 0

⇥ⓘ Restamos

3

a ambos miembros

⇥

2 x = -3

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥Solución obtenida:

x = - \frac{3}{2}

Cuando

x

se acerca a

- \frac{3}{2}

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = - \frac{3}{2}

es una asíntota vertical

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(5 x)

entre

(2 x + 3)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$5 x$	$\frac{5 x}{2 x}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{5}{2} \cdot (2 x + 3) = 5 x + \frac{15}{2}$	$5 x - (5 x + \frac{15}{2}) = - \frac{15}{2}$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

\frac{5}{2}

El cociente de la división es la constante

\frac{5}{2}

: la recta que debemos comprobar es

y = \frac{5}{2}

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{5 x}{2 x + 3}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tiende a

\frac{5}{2}

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tiende a

\frac{5}{2}

La asíntota horizontal es

y = \frac{5}{2}

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = - \frac{3}{2}; y = \frac{5}{2}}

🖼/draw?f1=%285*x%29%2F%282*x+%2B+3%29&v=x&x2=-3%2F2&f3=5%2F2&b=-11.5&e=8.5&min=0.2875&max=4.3375&dash=2,3