asíntotas de f(x)=(-x^3-5)/(x^2-4)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{- x^{3} - 5}{x^{2} - 4}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 4 = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

4

son

-2

2

⇥Soluciones obtenidas:

x = {-2; 2}

Cuando

x

se acerca a

-2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -2

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

2

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 2

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(- x^{3} - 5)

entre

(x^{2} - 4)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$- x^{3} - 5$	$- \frac{x^{3}}{x^{2}}$	$- x$	$- x \cdot (x^{2} - 4) = - x^{3} + 4 x$	$(- x^{3} - 5) - (- x^{3} + 4 x) = - 4 x - 5$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

- x

La división permite escribir

\frac{- x^{3} - 5}{x^{2} - 4} = - x - \frac{4 x + 5}{x^{2} - 4}

: la recta que debemos comprobar es

y = - x

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

- \frac{4 x + 5}{x^{2} - 4}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = - x

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = -2; x = 2; y = - x}

🖼/draw?f1=%28-x%5E3+-+5%29%2F%28x%5E2+-+4%29&v=x&x2=-2&x3=2&f4=-x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=12.0&dash=2,3,4