asíntotas de f(x)=(x^2)/(2x^2-2)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x^{2} = 1

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥Soluciones encontradas:

x = {-1; 1}

Cuando

x

se acerca a

-1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -1

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 1

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{2})

entre

(2 x^{2} - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{2}$	$\frac{x^{2}}{2 x^{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} - 2) = x^{2} - 1$	$x^{2} - (x^{2} - 1) = 1$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

\frac{1}{2}

El cociente de la división es la constante

\frac{1}{2}

: la recta que debemos comprobar es

y = \frac{1}{2}

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tiende a

\frac{1}{2}

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tiende a

\frac{1}{2}

La asíntota horizontal es

y = \frac{1}{2}

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -1; x = 1; y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=x%5E2%2F%282*x%5E2+-+2%29&v=x&x2=-1&x3=1&f4=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=0.49047619047619045&max=0.6047619047619047&dash=2,3,4