asíntotas de f(x)=(x^2+9)/(x^2-9)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

9

son

-3

3

⇥Soluciones encontradas:

x = {-3; 3}

Cuando

x

se acerca a

-3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = -3

es una asíntota vertical

Cuando

x

se acerca a

3

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 3

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{2} + 9)

entre

(x^{2} - 9)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{2} + 9$	$\frac{x^{2}}{x^{2}}$	$1$	$x^{2} - 9 = x^{2} - 9$	$(x^{2} + 9) - (x^{2} - 9) = 18$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

1

El cociente de la división es la constante

1

: la recta que debemos comprobar es

y = 1

Para una asíntota horizontal, la función debe tender a un valor finito: comprobemos el límite de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

en ambos infinitos

Cuando

x

tiende a +∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tiende a

1

; cuando

x

tiende a -∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tiende a

1

La asíntota horizontal es

y = 1

, por lo que no hay asíntota oblicua

▶Asíntotas:

{x = -3; x = 3; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+9%29%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=1&b=-10.0&e=10.0&min=-3.12&max=3.12&dash=2,3,4