asíntotas de y=(3x^2-3x-2)/(x-1)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x = 1

Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

+∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

-∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 1

es una asíntota vertical

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(3 x^{2} - 3 x - 2)

entre

(x - 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$3 x^{2} - 3 x - 2$	$\frac{3 x^{2}}{x}$	$3 x$	$3 x \cdot (x - 1) = 3 x^{2} - 3 x$	$(3 x^{2} - 3 x - 2) - (3 x^{2} - 3 x) = -2$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

3 x

La división permite escribir

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} = 3 x + \frac{2}{- x + 1}

: la recta que debemos comprobar es

y = 3 x

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{2}{- x + 1}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = 3 x

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = 1; y = 3 x}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+3*x+-+2%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=3*x&b=-9.0&e=11.0&min=-33.0&max=39.0&dash=2,3