|10x-6|<= |2x+2| — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| 10 x - 6 | \leq | 2 x + 2 |

Ambos miembros son positivos o nulos. Compararlos equivale a comparar sus cuadrados, con el mismo signo de comparación

2) Resolvamos en

ℝ

{(10 x - 6)}^{2} \leq {(2 x + 2)}^{2}

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2} \leq 0

Para

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = 10 x - 6

b = 2 x + 2

Podemos factorizar la expresión

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

como

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2))

3) Resolvamos en

ℝ

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2)) \leq 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x + 2)

- 2 x - 2

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 6 + 2

-4

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

10 x + 2 x

12 x

(10 x

- 6

- 2 x

- 2) \cdot (12 x - 4) \leq 0

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 6 - 2

-8

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

10 x - 2 x

8 x

(8 x - 8) \cdot (12 x - 4) \leq 0

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥La expresión

8 x - 8

se anula en:

⇥

x = \frac{8}{8}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

8

, su máximo común divisor:

\frac{8}{8}

1

⇥

x = 1

⇥Como su coeficiente de

x

8

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

1

⇥La expresión

12 x - 4

se anula en:

⇥

x = \frac{4}{12}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

\frac{4}{12}

\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1}{3}

⇥

x = \frac{1}{3}

⇥Como su coeficiente de

x

12

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

\frac{1}{3}

4) Construyamos la tabla de signos:

▶Solución obtenida:

x \in [\frac{1}{3}; 1]

5) El valor numérico de:

x \in [\frac{1}{3}; 1]

es:

▷

x \in [\approx 0,3333; 1]