|2*x-1|+3=|5-x|+4 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| 2 x - 1 | + 3 = | 5 - x | + 4

| 2 x - 1 |

+ 3

- | 5 - x |

- 4 = 0

ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

4

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 4

-1

| 2 x - 1 | - 1 - | 5 - x | = 0

Los argumentos de los valores absolutos se anulan en

{\frac{1}{2}; 5}

. Dividimos ℝ en esos puntos y resolvemos en cada intervalo

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = - (2 x - 1)

;

5 - x \geq 0

, por lo que

| 5 - x | = 5 - x

] -∞; \frac{1}{2}]

, la ecuación pasa a ser

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

2) Resolvamos en

ℝ

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

- 2 x

+ 1

- 1

- 5

+ x = 0

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x + x

- x

- x + 0 - 5 = 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 5

-5

- x - 5 = 0

ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

-5 = x

Solución obtenida:

x = -5

Como

-5 \leq \frac{1}{2}

, podemos conservar la solución

-5

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \geq 0

, por lo que

| 5 - x | = 5 - x

[\frac{1}{2}; 5]

, la ecuación pasa a ser

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

3) Resolvamos en

ℝ

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

ⓘ Partimos de

-1

y retrocedemos otros

1

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 1 - 1

-2

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (5 - x)

- 5 + x

2 x

- 2

- 5

+ x = 0

ⓘ Partimos de

-2

y retrocedemos otros

5

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 2 - 5

-7

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x + x

3 x

3 x - 7 = 0

ⓘ Sumamos

7

a ambos miembros

3 x = 7

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

Solución encontrada:

x = \frac{7}{3}

Como

\frac{7}{3} \in [\frac{1}{2}; 5]

, podemos conservar la solución

\frac{7}{3}

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \leq 0

, por lo que

| 5 - x | = - (5 - x)

[5; +∞ [

, la ecuación pasa a ser

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

4) Resolvamos en

ℝ

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

ⓘ Partimos de

-1

y retrocedemos otros

1

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 1 - 1

-2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x - x

x

x - 2 + 5 = 0

ⓘ Partimos de

-2

y avanzamos

5

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 2 + 5

3

x + 3 = 0

ⓘ Restamos

3

a ambos miembros

Solución encontrada:

x = -3

Como

-3 \notin [5; +∞ [

, no podemos conservar la solución

-3

▶Soluciones obtenidas:

x = {-5; \frac{7}{3}}

5) El valor numérico de:

x = {-5; \frac{7}{3}}

vale:

▷

x = {-5; \approx 2,3333}