|2*x-1|+3=|x-5| — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| 2 x - 1 | + 3 = | x - 5 |

Los argumentos de los valores absolutos se anulan en

{\frac{1}{2}; 5}

. Dividimos ℝ en esos puntos y resolvemos en cada intervalo

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = - (2 x - 1)

;

x - 5 \leq 0

, por lo que

| x - 5 | = - (x - 5)

] -∞; \frac{1}{2}]

, la ecuación pasa a ser

- (2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

2) Resolvamos en

ℝ

- (2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

- (x - 5)

- x + 5

- 2 x + 1 + 3 = - x + 5

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

3

en la recta numérica:

1 + 3

4

- 2 x + 4 = - x + 5

ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

4 - 5 = - x + 2 x

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

5

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 5

-1

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x + 2 x

x

-1 = x

Solución obtenida:

x = -1

Como

-1 \leq \frac{1}{2}

, podemos conservar la solución

-1

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

x - 5 \leq 0

, por lo que

| x - 5 | = - (x - 5)

[\frac{1}{2}; 5]

, la ecuación pasa a ser

(2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

3) Resolvamos en

ℝ

(2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

3

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 3

2

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x - 5)

- x + 5

2 x + 2 = - x + 5

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros■Partimos de

5

y retrocedemos

2

en la recta numérica:

5 - 2

3

2 x = - x + 3

ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

2 x + x = 3

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x + x

3 x

3 x = 3

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

x = \frac{3}{3}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{3}{3}

1

Solución obtenida:

x = 1

Como

1 \in [\frac{1}{2}; 5]

, podemos conservar la solución

1

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, por lo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

x - 5 \geq 0

, por lo que

| x - 5 | = x - 5

[5; +∞ [

, la ecuación pasa a ser

(2 x - 1) + 3 = x - 5

4) Resolvamos en

ℝ

(2 x - 1) + 3 = x - 5

ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

3

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 3

2

2 x + 2 = x - 5

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros■Partimos de

-5

y retrocedemos otros

2

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 5 - 2

-7

2 x = x - 7

ⓘ Restamos

x

a ambos miembros

2 x - x = -7

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x - x

x

Solución obtenida:

x = -7

Como

-7 \notin [5; +∞ [

, no podemos conservar la solución

-7

▶Soluciones obtenidas:

x = {-1; 1}