|x+3|<2|x+5| — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| x + 3 | < 2 \cdot | x + 5 |

Ambos miembros son positivos o nulos. Compararlos equivale a comparar sus cuadrados, con el mismo signo de comparación

2) Resolvamos en

ℝ

{(x + 3)}^{2} < {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2} < 0

Para

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x + 3

b = 2 \cdot (x + 5)

Podemos factorizar la expresión

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

como

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5))

3) Resolvamos en

ℝ

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5)) < 0

(x + 3 - 2 \cdot (x + 5)) \cdot (x + 3 + 2 \cdot (x + 5)) < 0

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥3.1) Estudiemos el signo de

x + 3 - 2 \cdot (x + 5)

ampliando la comparación a ≤ y resolviendo en

ℝ

x + 3 - 2 \cdot (x + 5) \leq 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 2 \cdot (x + 5)

- (2 x + 10)

⇥

x + 3 - (2 x + 10) \leq 0

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x + 10)

- 2 x - 10

⇥

x

+ 3

- 2 x

- 10 \leq 0

⇥ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

10

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 10

-7

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x - 2 x

- x

⇥

- x - 7 \leq 0

⇥ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

⇥

-7 \leq x

⇥Solución encontrada:

x \geq -7

⇥Por tanto, la expresión

x + 3 - 2 \cdot (x + 5)

es negativa o nula en

[-7; +∞ [

y positiva en los demás puntos

⇥3.2) Estudiemos el signo de

x + 3 + 2 \cdot (x + 5)

ampliando la comparación a ≤ y resolviendo en

ℝ

x + 3 + 2 \cdot (x + 5) \leq 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot (x + 5)

2 x + 10

⇥

x

+ 3

+ 2 x

+ 10 \leq 0

⇥ⓘ Partimos de

3

y avanzamos

10

en la recta numérica:

3 + 10

13

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + 2 x

3 x

⇥

3 x + 13 \leq 0

⇥

3 x \leq -13

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥Solución encontrada:

x \leq - \frac{13}{3}

⇥Por tanto, la expresión

x + 3 + 2 \cdot (x + 5)

es negativa o nula en

] -∞; - \frac{13}{3}]

y positiva en los demás puntos

4) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-7$		$- \frac{13}{3}$		$+∞$
$x + 3 - 2 \cdot (x + 5)$		+	0	-		-
$x + 3 + 2 \cdot (x + 5)$		-		-	0	+
$\| x + 3 \| - 2 \cdot \| x + 5 \|$		-	0	+	0	-

▶Solución encontrada:

x \in] -∞; -7 [\cup] - \frac{13}{3}; +∞ [

5) El valor numérico de:

x \in] -∞; -7 [\cup] - \frac{13}{3}; +∞ [

vale:

▷

x \in] -∞; -7 [\cup] \approx -4,3333; +∞ [