|x-1|+|x+1|=1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| x - 1 | + | x + 1 | = 1

Los argumentos de los valores absolutos se anulan en

{-1; 1}

. Dividimos ℝ en esos puntos y resolvemos en cada intervalo

] -∞; -1]

x - 1 \leq 0

, por lo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \leq 0

, por lo que

| x + 1 | = - (x + 1)

] -∞; -1]

, la ecuación pasa a ser

- (x - 1) - (x + 1) = 1

2) Resolvamos en

ℝ

- (x - 1) - (x + 1) = 1

- x

+ 1

- x

- 1 = 1

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x - x

-2 x

- 2 x + 0 = 1

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- 2 x + 0

-2 x

- 2 x = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

x = \frac{1}{-2}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{1}{-2}

- \frac{1}{2}

Solución encontrada:

x = - \frac{1}{2}

Como

- \frac{1}{2} \notin] -∞; -1]

, no podemos conservar la solución

- \frac{1}{2}

[-1; 1]

x - 1 \leq 0

, por lo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \geq 0

, por lo que

| x + 1 | = x + 1

[-1; 1]

, la ecuación pasa a ser

- (x - 1) + (x + 1) = 1

3) Resolvamos en

ℝ

- (x - 1) + (x + 1) = 1

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x - 1)

- x + 1

- x

+ 1

+ x

+ 1 = 1

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

1

en la recta numérica:

1 + 1

2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x + x

0

0 + 2 = 1

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2

2

2 = 1

La afirmación

2 = 1

es falsa, sea cual sea el valor de

x

Solución:

x \in \emptyset

[1; +∞ [

x - 1 \geq 0

, por lo que

| x - 1 | = x - 1

;

x + 1 \geq 0

, por lo que

| x + 1 | = x + 1

[1; +∞ [

, la ecuación pasa a ser

(x - 1) + (x + 1) = 1

4) Resolvamos en

ℝ

(x - 1) + (x + 1) = 1

ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

- 1 + 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

2 x + 0 = 1

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

2 x + 0

2 x

2 x = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Solución obtenida:

x = \frac{1}{2}

Como

\frac{1}{2} \notin [1; +∞ [

, no podemos conservar la solución

\frac{1}{2}

▶Solución:

x \in \emptyset