|x-1|+|x+1|=2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| x - 1 | + | x + 1 | = 2

Los argumentos de los valores absolutos se anulan en

{-1; 1}

. Dividimos ℝ en esos puntos y resolvemos en cada intervalo

] -∞; -1]

x - 1 \leq 0

, por lo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \leq 0

, por lo que

| x + 1 | = - (x + 1)

] -∞; -1]

, la ecuación pasa a ser

- (x - 1) - (x + 1) = 2

2) Resolvamos en

ℝ

- (x - 1) - (x + 1) = 2

- x

+ 1

- x

- 1 = 2

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x - x

-2 x

- 2 x + 0 = 2

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- 2 x + 0

-2 x

- 2 x = 2

ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

x = \frac{2}{-2}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{2}{-2}

- \frac{2}{2}

x = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

Solución obtenida:

x = -1

Como

-1 \leq -1

, podemos conservar la solución

-1

[-1; 1]

x - 1 \leq 0

, por lo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \geq 0

, por lo que

| x + 1 | = x + 1

[-1; 1]

, la ecuación pasa a ser

- (x - 1) + (x + 1) = 2

3) Resolvamos en

ℝ

- (x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x - 1)

- x + 1

- x

+ 1

+ x

+ 1 = 2

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

1

en la recta numérica:

1 + 1

2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x + x

0

0 + 2 = 2

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2

2

2 = 2

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

2 - 2 = 0

ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

2

en la recta numérica, hasta el cero:

2 - 2

0

0 = 0

Solución obtenida:

x \in ℝ

La ecuación se cumple para todo

x

[-1; 1]

: conservamos todo el intervalo

[1; +∞ [

x - 1 \geq 0

, por lo que

| x - 1 | = x - 1

;

x + 1 \geq 0

, por lo que

| x + 1 | = x + 1

[1; +∞ [

, la ecuación pasa a ser

(x - 1) + (x + 1) = 2

4) Resolvamos en

ℝ

(x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

- 1 + 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

2 x + 0 = 2

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

2 x + 0

2 x

2 x = 2

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

x = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

Solución encontrada:

x = 1

Como

1 \geq 1

, podemos conservar la solución

1

▶Solución obtenida:

x \in [-1; 1]