|x-3|=|3x+5| — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| x - 3 | = | 3 x + 5 |

Ambos miembros son positivos o nulos. Compararlos equivale a comparar sus cuadrados, con el mismo signo de comparación

2) Resolvamos en

ℝ

{(x - 3)}^{2} = {(3 x + 5)}^{2}

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2} = 0

Para

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x - 3

b = 3 x + 5

Podemos factorizar la expresión

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

como

((x - 3) - (3 x + 5)) \cdot ((x - 3) + (3 x + 5))

3) Resolvamos en

ℝ

((x - 3) - (3 x + 5)) \cdot ((x - 3) + (3 x + 5)) = 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 x + 5)

- 3 x - 5

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 3 + 5

2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + 3 x

4 x

(x

- 3

- 3 x

- 5) \cdot (4 x + 2) = 0

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 3 - 5

-8

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x - 3 x

-2 x

(- 2 x - 8) \cdot (4 x + 2) = 0

Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥3.1) Resolvamos en

ℝ

- 2 x - 8 = 0

⇥

- 2 x = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

⇥

x = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

x = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solución obtenida:

x = -4

⇥3.2) Resolvamos en

ℝ

4 x + 2 = 0

⇥

4 x = -2

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥

x = - \frac{2}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

⇥Solución obtenida:

x = - \frac{1}{2}

▶Solución:

x = {-4; - \frac{1}{2}}

4) El valor numérico de:

x = {-4; - \frac{1}{2}}

vale:

▷

x = {-4; -0,5}