cómo resolver y=1/sqrt(1-x) — solución paso a paso

La expresión

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

contiene varias variables: elegimos la variable x para la resolución

1) Resolvamos en

ℝ

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = y

Multiplicamos ambos miembros por

\sqrt{1 - x}

, no nulo para que las fracciones estén definidas

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x} = y \cdot \sqrt{1 - x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x}

\frac{1 \cdot \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

\sqrt{1 - x}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

1

1 = y \cdot \sqrt{1 - x}

y \cdot \sqrt{1 - x} = 1

Aislamos la raíz:

\sqrt{1 - x} = \frac{1}{y}

. Por convenio, la raíz cuadrada siempre es positiva o nula; elevamos ambos miembros al cuadrado, siempre que

\frac{1}{y} \geq 0

1 - x = {(\frac{1}{y})}^{2}

ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

1 - {(\frac{1}{y})}^{2} = x

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{y})}^{2}

\frac{1}{y^{2}}

1 - \frac{1}{y^{2}} = x

Candidatos, sujetos al dominio:

x = 1 - \frac{1}{y^{2}}

2) Resolvamos para y:

\frac{1}{y} \geq 0

⇥La expresión

y

se anula en

y = 0

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

Candidatos, sujetos al dominio:

y > 0

4) Busquemos el dominio de

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

Para que la expresión

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

esté definida, debe cumplirse:

1 - x > 0

ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

1 > x

Restricciones del dominio:

x < 1

▶Solución:

{x = 1 - \frac{1}{y^{2}}; y > 0}

⊕