calcula la segunda derivada de ln(x^5)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

x^{5}

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot 1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5})}{x^{5}}

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

\frac{5}{x}

\frac{5}{x}

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{5}{x}

5 x^{-1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{-1})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

5 \cdot (-1 \cdot x^{-2})

ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

5 \cdot (-1)

-5

-5 x^{-2}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- 5 x^{-2}

- \frac{5}{x^{2}}

▶Derivada:

- \frac{5}{x^{2}}