conjunto imagen de 7+sqrt(6+x) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

7 + \sqrt{6 + x}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x + 6}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x + 6}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

1 = 0

⇥⇥⇥La afirmación

1 = 0

es falsa, sea cual sea el valor de

x

⇥⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

2 \cdot \sqrt{x + 6} \neq 0

⇥⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥⇥Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

\sqrt{x + 6} \neq 0

⇥⇥⇥

\sqrt{x + 6} \neq 0

implica:

x + 6 \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Restamos

6

a ambos miembros

⇥⇥⇥Condición de definición:

x \neq -6

⇥⇥1.2) Determinemos el dominio de

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x + 6}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x + 6}}

esté definida, debe cumplirse:

2 \cdot \sqrt{x + 6} \neq 0

⇥⇥ Para que la expresión

\sqrt{x + 6}

esté definida, debe cumplirse:

x + 6 \geq 0

⇥⇥

2 \cdot \sqrt{x + 6} \neq 0

ya se ha resuelto:

x \neq -6

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

x + 6 \geq 0

⇥⇥ⓘ Restamos

6

a ambos miembros

⇥⇥Solución encontrada:

x \geq -6

⇥⇥La intersección de

x > -6

x \geq -6

x > -6

⇥⇥Restricciones del dominio:

x > -6

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = \frac{\sqrt{6}}{12}

> 0:

f

es creciente en

] -6; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥

f (-6) = 7 + \sqrt{6 - 6} = 7

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-6$		$+∞$
$f^{'} (x)$	‖	+
$f (x)$	$7$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

[-6; +∞ [

[-6; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

[7; +∞ [

▶Conjunto imagen:

[7; +∞ [