conjunto imagen de (3x+4)/(x^2-25)

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{3 x + 4}{x^{2} - 25}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = - \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

⇥Resolvamos en

ℝ

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

- (3 x^{2} + 8 x + 75) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 x^{2} + 8 x + 75)

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75 = 0

⇥⇥Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

3 x^{2} + 8 x + 75 = 0

⇥⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = 8

c = 75

⇥⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 75

⇥⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥⇥

Δ = 64 - 12 \cdot 75

⇥⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 75

(10 + 2) \cdot 75

10 \cdot 75 + 2 \cdot 75

750 + 150

900

⇥⇥

Δ = 64 - 900

⇥⇥ⓘ Partimos de

64

y retrocedemos

900

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

64 - 900

-836

⇥⇥

Δ = -836

⇥⇥Como

Δ < 0

, la ecuación no tiene raíces reales.

⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

implica:

x^{2} - 25 \neq 0

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

25

son

-5

5

⇥⇥Soluciones encontradas:

x \notin {-5; 5}

⇥ Para que la expresión

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

esté definida, debe cumplirse:

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

ya se ha resuelto:

x \notin {-5; 5}

⇥Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-5; 5}

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-6) = - \frac{135}{121}

< 0:

f

es decreciente en

] -∞; -5 [

⇥

f^{'} (0) = - \frac{3}{25}

< 0:

f

es decreciente en

] -5; 5 [

⇥

f^{'} (6) = - \frac{21}{11}

< 0:

f

es decreciente en

] 5; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

0

⇥Cuando

x

se acerca a

-5

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

⇥Cuando

x

se acerca a

5

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

0

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$-5$		$5$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	‖	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Por tanto,

f

es decreciente en

] -∞; -5 [

y en

] -5; 5 [

y en

] 5; +∞ [

] -∞; -5 [

f

es continua: toma todos los valores de

] -∞; 0 [

] -5; 5 [

f

es continua: toma todos los valores de

ℝ

] 5; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

] 0; +∞ [

▶Conjunto imagen:

ℝ