conjunto imagen de (3x-2)/(x+5) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{3 x - 2}{x + 5}

, para

x

real

⇥Determinemos el dominio de

\frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{3 x - 2}{x + 5}

esté definida, debe cumplirse:

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

5

a ambos miembros

⇥Solución encontrada:

x \neq -5

El dominio de partida es

x \neq -5

2) Hacemos

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

y resolvemos para

x

, para expresar la entrada en función del valor alcanzado

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} = y

⇥Multiplicamos ambos miembros por

x + 5

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5) = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5)

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x + 5

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

3 x - 2

⇥

3 x - 2 = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

y \cdot (x + 5)

y x + y \cdot 5

⇥

3 x - 2 = y x + y \cdot 5

⇥ⓘ Sumamos

2

a ambos miembros

⇥

3 x = y x + y \cdot 5 + 2

⇥

3 x - y x = y \cdot 5 + 2

⇥

(3 - y) \cdot x = y \cdot 5 + 2

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(3 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 3

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = \frac{5 y + 2}{3 - y}

⇥2.2) Busquemos el dominio de

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{3 x - 2}{x + 5}

esté definida, debe cumplirse:

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

5

a ambos miembros

⇥Restricciones del dominio:

x \neq -5

3) La ecuación tiene solución en

x

exactamente cuando

y \neq 3

: esos son los valores alcanzados

▶Conjunto imagen:

ℝ \ {3}