conjunto imagen de (-5)/(2x+7) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

- \frac{5}{2 x + 7}

, para

x

real

⇥Busquemos el dominio de

- \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Para que la expresión

- \frac{5}{2 x + 7}

esté definida, debe cumplirse:

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

7

a ambos miembros

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥Solución encontrada:

x \neq - \frac{7}{2}

El dominio de partida es

x \neq - \frac{7}{2}

2) Hacemos

y = - \frac{5}{2 x + 7}

y resolvemos para

x

, para expresar la entrada en función del valor alcanzado

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} = y

⇥Multiplicamos ambos miembros por

2 x + 7

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7) = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7)

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

-5

⇥

-5 = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

y \cdot (2 x + 7)

y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

-5 = y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

y \cdot 2 x + y \cdot 7 = -5

⇥

y \cdot 2 x = - 5 - y \cdot 7

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

y \cdot 2

, que debe ser no nulo:

y \neq 0

⇥

x = \frac{- 5 - y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 5 - y \cdot 7

- (5 + y \cdot 7)

⇥

x = - \frac{5 + y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = - \frac{7 y + 5}{2 y}

⇥2.2) Busquemos el dominio de

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Para que la expresión

- \frac{5}{2 x + 7}

esté definida, debe cumplirse:

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

7

a ambos miembros

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥Restricciones del dominio:

x \neq - \frac{7}{2}

3) La ecuación tiene solución en

x

exactamente cuando

y \neq 0

: esos son los valores alcanzados

▶Conjunto imagen:

ℝ \ {0}