conjunto imagen de arctan(x) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

\arctan (x)

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥Resolvamos en

ℝ

\frac{1}{x^{2} + 1} = 0

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

1 = 0

⇥⇥La afirmación

1 = 0

es falsa, sea cual sea el valor de

x

⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x^{2} + 1 \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq -1

⇥⇥En ℝ, un cuadrado nunca es negativo: ningún número real tiene

-1

como cuadrado

⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0:

f

es creciente en

ℝ

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

- \frac{π}{2}

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

\frac{π}{2}

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es creciente en

ℝ

ℝ

f

es continua: toma todos los valores de

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

▶Conjunto imagen:

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [