conjunto imagen de e^x-1 — solución paso a paso

Busquemos los valores reales que toma

e^{x} - 1

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = e^{x}

⇥Resolvamos en

ℝ

e^{x} = 0

⇥En ℝ, la función exponencial es estrictamente positiva:

e^{x} > 0

, por lo que

e^{x} = 0

no tiene solución

⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0:

f

es creciente en

ℝ

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-1

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es creciente en

ℝ

ℝ

f

es continua: toma todos los valores de

] -1; +∞ [

▶Conjunto imagen:

] -1; +∞ [