conjunto imagen de f(x)=1/(sqrt(x+2))

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{1}{\sqrt{x + 2}}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

- \frac{1}{2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

-1 = 0

⇥⇥⇥La afirmación

-1 = 0

es falsa, sea cual sea el valor de

x

⇥⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} \neq 0

⇥⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥⇥Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(x + 2)}^{\frac{3}{2}} \neq 0

⇥⇥⇥De

{(x + 2)}^{\frac{3}{2}} \neq 0

deducimos:

x + 2 \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

⇥⇥⇥Condición de definición:

x \neq -2

⇥⇥1.2) Busquemos el dominio de

- \frac{1}{2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

- \frac{1}{2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}}}

esté definida, debe cumplirse:

2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} \neq 0

⇥⇥ Para que la expresión

{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}

esté definida, debe cumplirse:

x + 2 \geq 0

⇥⇥

2 \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} \neq 0

ya se ha resuelto:

x \neq -2

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

x + 2 \geq 0

⇥⇥ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

⇥⇥Solución encontrada:

x \geq -2

⇥⇥La intersección de

x > -2

x \geq -2

x > -2

⇥⇥Restricciones del dominio:

x > -2

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = - \frac{\sqrt{2}}{8}

< 0:

f

es decreciente en

] -2; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

se acerca a

-2

por la derecha,

f (x)

tiende a

+∞

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

0

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-2$		$+∞$
$f^{'} (x)$	‖	-
$f (x)$	‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Por tanto,

f

es decreciente en

] -2; +∞ [

] -2; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

] 0; +∞ [

▶Conjunto imagen:

] 0; +∞ [