conjunto imagen de f(x)=1/(x^2-1)

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{1}{x^{2} - 1}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

⇥Resolvamos en

ℝ

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

- 2 x = 0

⇥⇥Simplificamos la expresión por

-2

⇥⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = 0

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

implica:

x^{2} - 1 \neq 0

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥⇥Soluciones encontradas:

x \notin {-1; 1}

⇥ Para que la expresión

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

esté definida, debe cumplirse:

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

ya se ha resuelto:

x \notin {-1; 1}

⇥Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-1; 1}

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = 0

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-2) = \frac{4}{9}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = \frac{16}{9}

> 0:

f

es creciente en

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}

< 0:

f

es decreciente en

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = - \frac{4}{9}

< 0:

f

es decreciente en

] 1; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

0

⇥Cuando

x

se acerca a

-1

por la izquierda,

f (x)

tiende a

+∞

; por la derecha, a

-∞

⇥

f (0) = \frac{1}{0^{2} - 1} = -1

⇥Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

0

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	‖	+	$0$	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↗	$+∞$ ‖ $-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; -1 [

y en

] -1; 0]

y decreciente en

[0; 1 [

y en

] 1; +∞ [

] -∞; -1 [

f

es continua: toma todos los valores de

] 0; +∞ [

] -1; 1 [

f

es continua: toma todos los valores de

] -∞; -1]

] 1; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

] 0; +∞ [

▶Conjunto imagen:

] -∞; -1] \cup] 0; +∞ [