conjunto imagen de f(x)=4/(x-5) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{4}{x - 5}

, para

x

real

⇥Determinemos el dominio de

\frac{4}{x - 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{4}{x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

5

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x \neq 5

El dominio de partida es

x \neq 5

2) Hacemos

y = \frac{4}{x - 5}

y resolvemos para

x

, para expresar la entrada en función del valor alcanzado

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

y = \frac{4}{x - 5}

⇥

\frac{4}{x - 5} = y

⇥Multiplicamos ambos miembros por

x - 5

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5) = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5)

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x - 5

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

4

⇥

4 = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

y \cdot (x - 5)

y x + y \cdot (-5)

⇥

4 = y x + y \cdot (-5)

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

y \cdot (-5)

- 5 y

⇥

4 = y x - 5 y

⇥

y x - 5 y = 4

⇥

y x = 4 + 5 y

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

y

, que debe ser no nulo:

y \neq 0

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = \frac{5 y + 4}{y}

⇥2.2) Busquemos el dominio de

y = \frac{4}{x - 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{4}{x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

5

a ambos miembros

⇥Restricciones del dominio:

x \neq 5

3) La ecuación tiene solución en

x

exactamente cuando

y \neq 0

: esos son los valores alcanzados

▶Conjunto imagen:

ℝ \ {0}