conjunto imagen de f(x)=(x-7)^2 — solución paso a paso

Busquemos los valores reales que toma

{(x - 7)}^{2}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = 2 \cdot (x - 7)

⇥Resolvamos en

ℝ

2 \cdot (x - 7) = 0

⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x - 7 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 7

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = 7

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = -14

< 0:

f

es decreciente en

] -∞; 7 [

⇥

f^{'} (8) = 2

> 0:

f

es creciente en

] 7; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥

f (7) = {(7 - 7)}^{2} = 0

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es decreciente en

] -∞; 7]

y creciente en

[7; +∞ [

ℝ

f

es continua: toma todos los valores de

[0; +∞ [

▶Conjunto imagen:

[0; +∞ [