conjunto imagen de f(x)= 1/(x+3) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{1}{x + 3}

, para

x

real

⇥Determinemos el dominio de

\frac{1}{x + 3}

⇥ Para que la expresión

\frac{1}{x + 3}

esté definida, debe cumplirse:

x + 3 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

3

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x \neq -3

El dominio de partida es

x \neq -3

2) Hacemos

y = \frac{1}{x + 3}

y resolvemos para

x

, para expresar la entrada en función del valor alcanzado

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

y = \frac{1}{x + 3}

⇥

\frac{1}{x + 3} = y

⇥Multiplicamos ambos miembros por

x + 3

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥

\frac{1}{x + 3} \cdot (x + 3) = y \cdot (x + 3)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{x + 3} \cdot (x + 3)

\frac{1 \cdot (x + 3)}{x + 3}

\frac{x + 3}{x + 3}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x + 3

\frac{x + 3}{x + 3}

1

⇥

1 = y \cdot (x + 3)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

y \cdot (x + 3)

y x + y \cdot 3

⇥

1 = y x + y \cdot 3

⇥

y x + y \cdot 3 = 1

⇥

y x = 1 - y \cdot 3

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

y

, que debe ser no nulo:

y \neq 0

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = \frac{1 - 3 y}{y}

⇥2.2) Determinemos el dominio de

y = \frac{1}{x + 3}

⇥ Para que la expresión

\frac{1}{x + 3}

esté definida, debe cumplirse:

x + 3 \neq 0

⇥ⓘ Restamos

3

a ambos miembros

⇥Restricciones del dominio:

x \neq -3

3) La ecuación tiene solución en

x

exactamente cuando

y \neq 0

: esos son los valores alcanzados

▶Conjunto imagen:

ℝ \ {0}