conjunto imagen de f(x)=sqrt(x-12)

1) Busquemos los valores reales que toma

\sqrt{x - 12}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 12}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 12}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

1 = 0

⇥⇥⇥La afirmación

1 = 0

es falsa, sea cual sea el valor de

x

⇥⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

2 \cdot \sqrt{x - 12} \neq 0

⇥⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥⇥Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

\sqrt{x - 12} \neq 0

⇥⇥⇥De

\sqrt{x - 12} \neq 0

deducimos:

x - 12 \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Sumamos

12

a ambos miembros

⇥⇥⇥Condición de definición:

x \neq 12

⇥⇥1.2) Determinemos el dominio de

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 12}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 12}}

esté definida, debe cumplirse:

2 \cdot \sqrt{x - 12} \neq 0

⇥⇥ Para que la expresión

\sqrt{x - 12}

esté definida, debe cumplirse:

x - 12 \geq 0

⇥⇥

2 \cdot \sqrt{x - 12} \neq 0

ya se ha resuelto:

x \neq 12

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

x - 12 \geq 0

⇥⇥ⓘ Sumamos

12

a ambos miembros

⇥⇥Solución obtenida:

x \geq 12

⇥⇥La intersección de

x > 12

x \geq 12

x > 12

⇥⇥Restricciones del dominio:

x > 12

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (13) = \frac{1}{2}

> 0:

f

es creciente en

] 12; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥

f (12) = \sqrt{12 - 12} = 0

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$12$		$+∞$
$f^{'} (x)$	‖	+
$f (x)$	$0$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

[12; +∞ [

[12; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

[0; +∞ [

▶Conjunto imagen:

[0; +∞ [