conjunto imagen de pi-3arcsin(2x-1)

1) Busquemos los valores reales que toma

π - 3 \cdot \arcsin (2 x - 1)

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = - \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

-6 = 0

⇥⇥⇥La afirmación

-6 = 0

es falsa, sea cual sea el valor de

x

⇥⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

⇥⇥⇥De

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

deducimos:

1 - {(2 x - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥⇥Para

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥⇥Podemos factorizar la expresión

1 - {(2 x - 1)}^{2}

como

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥⇥1.1.3) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 1

0

⇥⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 x

2 x

⇥⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x \neq 0

⇥⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥⇥1.1.3.1) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

2 - 2 x \neq 0

⇥⇥⇥

2 x \neq 2

⇥⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥⇥⇥

x \neq \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥Condición de definición:

x \neq 1

⇥⇥⇥1.1.3.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x \neq 0

⇥⇥⇥Condición de definición:

x \neq 0

⇥⇥1.2) Determinemos el dominio de

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

esté definida, debe cumplirse:

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥ Para que la expresión

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}

esté definida, debe cumplirse:

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥Para

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥Podemos factorizar la expresión

1 - {(2 x - 1)}^{2}

como

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥1.4) Resolvamos en

ℝ

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) > 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 1

0

⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) > 0

⇥⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 x

2 x

⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x > 0

⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥⇥La expresión

2 - 2 x

se anula en:

⇥⇥⇥

x = \frac{-2}{-2}

⇥⇥⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥⇥⇥

x = \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Como su coeficiente de

x

-2

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

1

⇥⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

⇥⇥1.5) Construyamos la tabla de signos:

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$2 - 2 x$		+		+	0	-
$x$		-	0	+		+
$1 - {(2 x - 1)}^{2}$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solución obtenida:

x \in] 0; 1 [

⇥⇥1.6) Resolvamos en

ℝ

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

⇥⇥

1 - (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1)) \geq 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1)

⇥⇥

1

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1) \geq 0

⇥⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-2 \cdot (-1)

2

⇥⇥

1

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 2 x

- 1 \geq 0

⇥⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

⇥⇥

0 - 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 4 x^{2}

-4 x^{2}

⇥⇥

- 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥Podemos factorizar la expresión

4 x - 4 x^{2}

como

x \cdot (4 - 4 x)

⇥⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

⇥⇥⇥La expresión

4 - 4 x

se anula en:

⇥⇥⇥

x = \frac{-4}{-4}

⇥⇥⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-4}{-4}

\frac{4}{4}

⇥⇥⇥

x = \frac{4}{4}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

\frac{4}{4}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Como su coeficiente de

x

-4

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

1

⇥⇥1.7) Construyamos la tabla de signos:

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x$		-	0	+		+
$4 - 4 x$		+		+	0	-
$1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solución encontrada:

x \in [0; 1]

⇥⇥La intersección de

x \in] 0; 1 [

x \in [0; 1]

x \in] 0; 1 [

⇥⇥Restricciones del dominio:

x \in] 0; 1 [

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -6

< 0:

f

es decreciente en

] 0; 1 [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥

f (0) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 0 - 1) = \frac{5 π}{2}

⇥

f (1) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 1 - 1) = - \frac{π}{2}

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$0$		$1$
$f^{'} (x)$	‖	-	‖
$f (x)$	$\frac{5 π}{2}$	↘	$- \frac{π}{2}$

⇥Por tanto,

f

es decreciente en

[0; 1]

[0; 1]

f

es continua: toma todos los valores de

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]

▶Conjunto imagen:

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]