conjunto imagen de x/(6x-5) — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

\frac{x}{6 x - 5}

, para

x

real

⇥Busquemos el dominio de

\frac{x}{6 x - 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{x}{6 x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

6 x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

5

a ambos miembros

⇥

6 x \neq 5

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

6

⇥Solución obtenida:

x \neq \frac{5}{6}

El dominio de partida es

x \neq \frac{5}{6}

2) Hacemos

y = \frac{x}{6 x - 5}

y resolvemos para

x

, para expresar la entrada en función del valor alcanzado

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

y = \frac{x}{6 x - 5}

⇥

\frac{x}{6 x - 5} = y

⇥Multiplicamos ambos miembros por

6 x - 5

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥

\frac{x}{6 x - 5} \cdot (6 x - 5) = y \cdot (6 x - 5)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{x}{6 x - 5} \cdot (6 x - 5)

\frac{x \cdot (6 x - 5)}{6 x - 5}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

6 x - 5

\frac{x \cdot (6 x - 5)}{6 x - 5}

x

⇥

x = y \cdot (6 x - 5)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

y \cdot (6 x - 5)

y \cdot 6 x + y \cdot (-5)

⇥

x = y \cdot 6 x + y \cdot (-5)

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

y \cdot (-5)

- 5 y

⇥

x = y \cdot 6 x - 5 y

⇥

x - y \cdot 6 x = -5 y

⇥

(1 - y \cdot 6) \cdot x = -5 y

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(1 - y \cdot 6)

, que debe ser no nulo:

y \neq \frac{1}{6}

⇥

x = \frac{-5 y}{1 - y \cdot 6}

⇥

x = - \frac{5 y}{1 - y \cdot 6}

⇥ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{5 y}{1 - y \cdot 6}

\frac{5 y}{- 1 + y \cdot 6}

⇥

x = \frac{5 y}{- 1 + y \cdot 6}

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = \frac{5 y}{6 y - 1}

⇥2.2) Busquemos el dominio de

y = \frac{x}{6 x - 5}

⇥ Para que la expresión

\frac{x}{6 x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

6 x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

5

a ambos miembros

⇥

6 x \neq 5

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

6

⇥Restricciones del dominio:

x \neq \frac{5}{6}

3) La ecuación tiene solución en

x

exactamente cuando

y \neq \frac{1}{6}

: esos son los valores alcanzados

▶Conjunto imagen:

ℝ \ {\frac{1}{6}}