conjunto imagen de x+16/x — solución paso a paso

1) Busquemos los valores reales que toma

x + \frac{16}{x}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = 1 - \frac{16}{x^{2}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos miembros por

x^{2}

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥⇥

x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2} = 0 \cdot x^{2}

⇥⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}

\frac{16 x^{2}}{x^{2}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{16 x^{2}}{x^{2}}

-16

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x^{2}

0

⇥⇥ⅰ

1 - \frac{16}{x^{2}}

x^{2} - 16

⇥⇥

x^{2} - 16 = 0

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

16

son

-4

4

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = {-4; 4}

⇥⇥1.2) Busquemos el dominio de

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

- \frac{16}{x^{2}}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} \neq 0

⇥⇥De

x^{2} \neq 0

deducimos:

x \neq 0

⇥⇥Restricciones del dominio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = {-4; 4}

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-5) = \frac{9}{25}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; -4 [

⇥

f^{'} (-1) = -15

< 0:

f

es decreciente en

] -4; 0 [

⇥

f^{'} (1) = -15

< 0:

f

es decreciente en

] 0; 4 [

⇥

f^{'} (5) = \frac{9}{25}

> 0:

f

es creciente en

] 4; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

⇥

f (-4) = - 4 + \frac{16}{-4} = -8

⇥Cuando

x

se acerca a

0

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

⇥

f (4) = 4 + \frac{16}{4} = 8

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$-4$		$0$		$4$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-8$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$8$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; -4]

, decreciente en

[-4; 0 [

y en

] 0; 4]

y creciente en

[4; +∞ [

] -∞; 0 [

f

es continua: toma todos los valores de

] -∞; -8]

] 0; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

[8; +∞ [

▶Conjunto imagen:

] -∞; -8] \cup [8; +∞ [