conjunto imagen de xsqrt(36-x) — solución paso a paso

⚠ xsqrt(36-x) se interpreta como x*sqrt(36-x): utiliza * para una multiplicación, utiliza ^ para una potencia

1) Busquemos los valores reales que toma

x \cdot \sqrt{36 - x}

mediante su tabla de variación

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos miembros por

2 \cdot \sqrt{36 - x}

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥⇥

\sqrt{36 - x} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} = 0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

⇥⇥ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{36 - x} \cdot \sqrt{36 - x}

36 - x

■Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

\frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

0

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

\frac{2 \cdot (- x)}{2}

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) + \frac{2 \cdot (- x)}{2} = 0

⇥⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - \frac{2 x}{2} = 0

⇥⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 x}{2}

- x

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - x = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot (36 - x)

72 + 2 \cdot (- x)

⇥⇥

72 + 2 \cdot (- x) - x = 0

⇥⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

⇥⇥

72 - 2 x - x = 0

⇥⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x - x

-3 x

⇥⇥ⅰ

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

72 - 3 x

⇥⇥

72 - 3 x = 0

⇥⇥ⓘ Sumamos

3 x

a ambos miembros

⇥⇥

72 = 3 x

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥⇥

x = \frac{72}{3}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{72}{3}

24

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = 24

⇥⇥1.2) Determinemos el dominio de

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ Para que la expresión

\sqrt{36 - x}

esté definida, debe cumplirse:

36 - x \geq 0

⇥⇥ Para que la expresión

- \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

esté definida, debe cumplirse:

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

36 - x \geq 0

⇥⇥ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

⇥⇥

36 \geq x

⇥⇥Solución obtenida:

x \leq 36

⇥⇥1.4) Resolvamos en

ℝ

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥Simplificamos la expresión por

2

⇥⇥⇥Resolvamos en

ℝ

\sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥⇥

\sqrt{36 - x} \neq 0

implica:

36 - x > 0

⇥⇥⇥ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

⇥⇥⇥

36 > x

⇥⇥⇥Solución encontrada:

x < 36

⇥⇥La intersección de

x \leq 36

x < 36

x < 36

⇥⇥Restricciones del dominio:

x < 36

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = 24

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = 6

> 0:

f

es creciente en

] -∞; 24 [

⇥

f^{'} (25) = - \frac{3 \cdot \sqrt{11}}{22}

< 0:

f

es decreciente en

] 24; 36 [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

⇥

f (24) = 24 \cdot \sqrt{36 - 24} = 48 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (36) = 36 \cdot \sqrt{36 - 36} = 0

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$24$		$36$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖
$f (x)$	$-∞$	↗	$48 \cdot \sqrt{3}$	↘	$0$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; 24]

y decreciente en

[24; 36]

] -∞; 36]

f

es continua: toma todos los valores de

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]

▶Conjunto imagen:

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]