derivada de \sqrt[3]{6+2x+x^3} — solución paso a paso

Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{6 + 2 x + x^{3}})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

6 + 2 x + x^{3}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{6 + 2 x + x^{3}})

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

\frac{1 \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})

0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{2 + 3 x^{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

▶Derivada:

\frac{3 x^{2} + 2}{3 \cdot \sqrt[3]{{(x^{3} + 2 x + 6)}^{2}}}