derivada de 1/(1+sin(x)) — solución paso a paso

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{1 + \sin (x)}

{(1 + \sin (x))}^{-1}

Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

1 + \sin (x)

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

\frac{d}{d x} (\sin (x))

■La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

▶Derivada:

- \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}