derivada de 1/(sqrt(64+5t^2)) — solución paso a paso

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{\sqrt{64 + 5 t^{2}}}

{(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Derivemos:

\frac{d}{d t} ({(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d t} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d t} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

64 + 5 t^{2}

ⓘ La derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} ({(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})

0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})

- \frac{0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})

\frac{d}{d t} (5 t^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d t} (5 t^{2})

5 \cdot \frac{d}{d t} (t^{2})

■La derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{2})

2 t

- \frac{5 \cdot 2 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⅰ

5 \cdot 2

10

- \frac{10 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{10 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{5 t}{{(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{5 t}{{(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

- \frac{5 t}{{(5 t^{2} + 64)}^{\frac{3}{2}}}