derivada de 10x(x^2+7)^4 — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (10 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

10 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

10 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

Para

u1

x

v2

{(x^{2} + 7)}^{4}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} + 7

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

4 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 2

8

8 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + x \cdot 8 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

{(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

{(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

10 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3})

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

10 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3})

10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + 80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + 80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

▶Derivada:

80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3} + 10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4}