derivada de 5x^2cos(7x) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

Para

u1

x^{2}

v2

\cos (7 x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

con f =

7 x

ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 x)

7

- 7 \cdot \sin (7 x)

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot \cos (7 x) + x^{2} \cdot (- 7 \cdot \sin (7 x))

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

x^{2} \cdot (-7) \cdot \sin (7 x)

- 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

Factoricemos en

ℝ

(10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

Extraemos

5

, el máximo común divisor de los coeficientes:

10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))

Factor encontrado:

2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x)

▶Derivada:

5 x \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))